概率公式

条件概率公式

设$A,B$是两个事件，且$P(B)>0$,则在事件$B$发生的条件下，事件$A$发生的条件概率为$P(A|B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}$

乘法公式

1.由条件概率公式得$P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)$
2.推广：对$\forall n \geq 2$当$P(A1A_2…A{n-1})>0$时
有 $P(A1A_2…A{n-1}A{n})=P(A1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)…P(A_n|A_1A_2…A{n-1})$

全概率公式

如果事件组$B1,B_2,…,B_n$满足
1.$\forall i\neq j\in \left {1,2,\cdots ,n \right },B_i\cap B_j = \varnothing$
2.$B_1\cup B_2\cup …\cup B_n=\Omega$
则称事件组$B_1,B_2,…,B_n$是样本空间$\Omega$的一个划分,或称为样本空间$\Omega$的一个完备事件组。
设事件组$\left {B_i \right }$是样本空间$\Omega$的一个划分，且$P(B_i)>0(i \in \left {1,2,\cdots ,n \right })$
对任一事件$A$，有$P(A)=\sum{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)$

贝叶斯公式

设事件组$\left {Bi \right }$是样本空间$\Omega$的一个划分，则对任一事件$A(P(A)>0)$,有
$P(B_i|A)=\dfrac{P(AB_i)}{P(A)}=\dfrac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum{j=1}^{n}P(B_j)P(A|B_j)}$
上式即为贝叶斯公式，$B_i$常被视为导致试验结果$A$发生的”原因“，$P(B_i)(i\in \left {1,2,\cdots ,n \right })$表示各种原因发生的可能性大小，故称先验概率；$P(B_i|A)(i\in \left {1,2,\cdots ,n \right })$则反映当试验产生了结果$A$之后，再对各种原因概率的新认识，故称后验概率。

数学期望

离散型随机变量$X$的取值为$x1,x_2,x_3,…,x{n}$，$p1,p_2,p_3,…,p{n}$为$X$对应取值的概率
则称$E(X)=\sum{i=1}^{n}p{i}x_{i}$为离散型随机变量$X$的数学期望
性质：$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$

Problem

P4316 绿豆蛙的归宿
设$F[x]$表示从$x$走到$N$期望长度
$F[x]=\frac{1}{k}\sum{i=1}^{k}(F[y{i}]+z{i})$
$F[N]=0$
$Ans=F[1]$
P1365 WJMZBMR打osu! / Easy
设$f[x]$表示到$x$期望得分 $g[x]$表示以$x$结尾期望$o$序列长度
$s[i]==x\ f[i]=f[i-1],g[i]=0$
$s[i]==o\ f[i]=f[i-1]+2*g[i-1]+1,g[i]=g[i-1]+1$
$s[i]==?\ f[i]=f[i-1]+\frac{(2g[i-1]+1)+0}{2},g[i]=\frac{(g[i-1]+1)+0}{2}$
$Ans=f[n]$
P1654 OSU!
$p[i]$表示$i$位置成功概率
设$f[i]$表示到$i$期望得分 $x1[i]$以$i$结尾$1$序列期望长度 $x2[i]$表示以$i$结尾$1$序列期望长度平方
$(x+1)^{3}=(x^{2}+2x+1)(x+1)=x^{3}+3x^{2}+3x+1$
若第$i$次成功且有$f[i-1]=x^{3}则f[i]=f[i-1]+3x^{2}+3x+1$
$x1[i]=(x1[i-1]+1)p[i]$
$x2[i]=(x2[i-1]+2x1[i-1]+1)p[i]$
$f[i]=f[i-1]+(3x2[i-1]+3x1[i-1]+1)p[i]$
$Ans=f[n]$
P1297 [国家集训队]单选错位
$Ans=\sum{i=1}^{n-1}\frac{1}{max(ai,a{i+1})}+\frac{1}{max(a_1,a_n)}$

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